4.2 Lineare stationäre Modelle für Zeitreihen, in denen die Zufallsvariable die Innovation genannt wird, weil sie den Teil der beobachteten Variablen darstellt, der aufgrund der vergangenen Werte nicht vorhersehbar ist. Das allgemeine Modell (4.4) geht davon aus, dass das Ausgangssignal eines linearen Filters ist, der die bisherigen Innovationen transformiert, dh einen linearen Prozess darstellt. Diese Linearitätsannahme basiert auf dem Wolds-Zerlegungstheorem (Wold 1938), das besagt, dass jeder diskrete stationäre Kovarianzprozess als Summe zweier nicht korrelierter Prozesse ausgedrückt werden kann, wobei er rein deterministisch ist und ein rein indeterministischer Prozess ist, der als linear geschrieben werden kann Summe des Innovationsprozesses: wo ist eine Folge von seriell unkorrelierten Zufallsvariablen mit null mittlerer und gemeinsamer Varianz. Voraussetzung für die Stationarität. Die Formulierung (4.4) ist eine endliche Reparametrisierung der unendlichen Darstellung (4.5) - (4.6) mit der Konstanten. Es wird üblicherweise in Form des durch den definierten Verzögerungsoperators geschrieben, der einen kürzeren Ausdruck ergibt: wobei die Verzögerungsoperatorpolynome und das Polynom bzw. das Polynom aufgerufen werden. Um eine Parameterredundanz zu vermeiden, gehen wir davon aus, dass es keine gemeinsamen Faktoren zwischen den Komponenten und den Komponenten gibt. Als nächstes werden wir die Handlung einiger Zeitreihen studieren, die von stationären Modellen mit dem Ziel erstellt werden, die Hauptmuster ihrer zeitlichen Entwicklung zu bestimmen. Abbildung 4.2 enthält zwei Serien, die mit Hilfe des Genarma-Quantlets aus den folgenden stationären Prozessen generiert werden: Abbildung 4.2: Zeitreihen, die von Modellen erzeugt werden Erwartungsgemäß bewegen sich beide Zeitreihen um ein konstantes Niveau, ohne Änderungen der Varianz aufgrund der stationären Eigenschaft. Darüber hinaus ist dieses Niveau nahe dem theoretischen Mittel des Prozesses, und der Abstand jedes Punktes zu diesem Wert ist sehr selten außerhalb der Grenzen. Darüber hinaus zeigt die Entwicklung der Serie lokale Abweichungen vom Mittelwert des Prozesses, der als das mittlere Reversionsverhalten, das die stationären Zeitreihen charakterisiert, bekannt ist. Wir wollen die Eigenschaften der verschiedenen Prozesse genauer untersuchen, insbesondere die Autokovarianzfunktion, die die dynamischen Eigenschaften eines stochastischen stationären Prozesses erfasst. Diese Funktion hängt von den Maßeinheiten ab, so dass das übliche Maß für den Grad der Linearität zwischen den Variablen der Korrelationskoeffizient ist. Im Fall stationärer Prozesse ist der Autokorrelationskoeffizient bei Verzögerung, bezeichnet mit, als die Korrelation zwischen und definiert. Somit ist die Autokorrelationsfunktion (ACF) die Autokovarianzfunktion, die durch die Varianz standardisiert ist. Die Eigenschaften des ACF sind: Angesichts der Symmetrieeigenschaft (4.10) wird der ACF in der Regel durch ein Balkendiagramm an den nichtnegativen Verzögerungen dargestellt, das als einfaches Korrelogramm bezeichnet wird. Ein weiteres nützliches Werkzeug zur Beschreibung der Dynamik eines stationären Prozesses ist die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF). Der partielle Autokorrelationskoeffizient bei Verzögerung misst die lineare Zuordnung zwischen den Werten der Zwischenwerte. Daher ist es nur der Koeffizient im linearen Regressionsmodell: Die Eigenschaften der PACF sind äquivalent zu denen des ACF (4.8) - (4.10) und es ist leicht zu beweisen, dass (Box und Jenkins 1976). Wie die ACF hängt die partielle Autokorrelationsfunktion nicht von den Maßeinheiten ab und wird durch ein Balkendiagramm an den nichtnegativen Verzögerungen dargestellt, das als partielles Korrelogramm bezeichnet wird. Die dynamischen Eigenschaften jedes stationären Modells bestimmen eine bestimmte Form der Korrelogramme. Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass für jeden stationären Prozess, beide Funktionen, ACF und PACF, nähern sich Null, wie die Verzögerung tendiert zu unendlich. Die Modelle sind nicht immer stationäre Prozesse, daher ist es notwendig, zunächst die Bedingungen für die Stationarität zu bestimmen. Es gibt Unterklassen von Modellen, die besondere Eigenschaften haben, so dass wir sie getrennt studieren. Also, wenn und, es ist ein weißes Rauschen Prozess. Wenn es ein reiner gleitender Durchschnitt der Ordnung ist. , Und wenn es ein reiner autoregressiver Prozess der Ordnung ist. . 4.2.1 Weißes Rauschen Das einfachste Modell ist ein weißes Rauschen, bei dem es sich um eine Folge von unkorrelierten Nullmittelwerten mit konstanter Varianz handelt. Es ist mit bezeichnet. Dieser Prozeß ist stationär, wenn seine Varianz endlich ist, da die Bedingung (4.1) - (4.3) verifiziert wird. Zudem ist die Autokovarianzfunktion nicht korreliert: Abbildung 4.7 zeigt zwei simulierte Zeitreihen, die aus Prozessen mit null Mittelwerten und Parametern und -0.7 erzeugt wurden. Der autoregressive Parameter misst die Persistenz vergangener Ereignisse in die aktuellen Werte. Wenn zum Beispiel ein positiver (oder negativer) Schock positiv (oder negativ) für einen längeren Zeitraum wirkt, der um so größer ist, je größer der Wert von ist. Wenn sich die Serie durch den Wechsel in Richtung der Wirkung, dh einen Schock, der sich positiv auf das Moment auswirkt, mehr grob um den Mittelpunkt bewegt, hat dies negative Auswirkungen auf, positiv. Der Prozeß ist immer invertierbar und er ist stationär, wenn der Parameter des Modells in der Region liegt. Um den stationären Zustand zu beweisen, schreiben wir zuerst die in der gleitenden Durchschnittsform durch rekursive Substitution von in (4.14): Abbildung 4.8: Populationskorrelogramme für Prozesse Dies ist eine gewichtete Summe aus vergangenen Innovationen. Die Gewichte hängen vom Wert des Parameters ab: wann, (oder) der Einfluss einer gegebenen Innovation durch die Zeit zunimmt (oder abnimmt). Erwartungen an (4.15), um den Mittelwert des Prozesses zu berechnen, erhalten wir: Angenommen, das Ergebnis ist eine Summe unendlicher Glieder, die für alle Werte nur dann konvergiert, wenn in diesem Fall. Ein ähnliches Problem erscheint, wenn wir das zweite Moment berechnen. Der Beweis kann vereinfacht werden unter der Annahme, dass, das heißt,. Dann ist Varianz: Wiederum geht die Varianz in unendlich bis auf, in welchem Fall. Es ist leicht zu überprüfen, dass sowohl der Mittelwert und die Varianz explodieren, wenn diese Bedingung nicht hält. Die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses ist daher die Autokorrelationsfunktion für das stationäre Modell: Das heißt, das Korrelogramm zeigt einen exponentiellen Abfall mit positiven Werten immer, wenn positiv und bei negativ positiven Schwingungen if negativ ist (siehe Abbildung 4.8). Weiterhin nimmt die Abklinggeschwindigkeit ab, je größer der Wert ist, desto stärker ist die dynamische Korrelation im Prozess. Schließlich gibt es einen Cutoff in der partiellen Autokorrelationsfunktion bei der ersten Verzögerung. Abbildung 4.9: Populations-Korrelogramme für Prozesse Es kann gezeigt werden, dass der allgemeine Prozess (Box und Jenkins 1976): Ist nur stationär, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Polynoms außerhalb des Einheitskreises liegen. Der Mittelwert eines stationären Modells ist. Es ist immer invertierbar für alle Werte der Parameter. Its ACF geht auf null exponentiell, wenn die Wurzeln der realen oder mit Sinus-Cosinus-Welle Fluktuationen, wenn sie komplex sind. Its PACF hat einen Cutoff auf der Lag, das heißt, Korrelokolle für komplexere Modelle, wie z. B. die, sind in Abbildung 4.9 zu sehen. Sie sind den Mustern sehr ähnlich, wenn die Prozesse reale Wurzeln haben, nehmen aber eine sehr unterschiedliche Form ein, wenn die Wurzeln komplex sind (siehe das erste Grafikpaar der Abbildung 4.9). 4.2.4 Autoregressives Moving Average Modell Das allgemeine (endliche) autoregressive Moving Average Modell von Befehlen, ist: Eine kurze Einführung in die moderne Zeitreihe Definition Eine Zeitreihe ist eine Zufallsfunktion xt eines Arguments t in einer Menge T. In Mit anderen Worten, eine Zeitreihe ist eine Familie von Zufallsvariablen. X t-1. X t. X t1. Die allen Elementen in der Menge T entsprechen, wobei T eine abzählbare unendliche Menge sein soll. Definition Eine beobachtete Zeitreihe t t e T o T gilt als Teil einer Realisierung einer Zufallsfunktion x t. Eine unendliche Menge möglicher Verwirklichungen, die beobachtet werden könnten, wird Ensemble genannt. Um die Dinge strenger zu formulieren, ist die Zeitreihe (oder zufällige Funktion) eine reelle Funktion x (w, t) der beiden Variablen w und t mit ww und t T. Wenn wir den Wert von w festlegen. Haben wir eine reelle Funktion x (t w) der Zeit t, die eine Realisierung der Zeitreihen ist. Wenn wir den Wert von t festlegen, haben wir eine Zufallsvariable x (wt). Für einen gegebenen Zeitpunkt gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über x. Somit kann eine Zufallsfunktion x (w, t) entweder als eine Familie von Zufallsvariablen oder als eine Familie von Realisierungen betrachtet werden. Definition Wir definieren die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen w mit t 0 als P o) x (x). Ähnlich können wir die gemeinsame Verteilung für n Zufallsvariablen definieren. Die Punkte, die die Zeitreihenanalyse von gewöhnlichen statistischen Analysen unterscheiden, sind folgende: (1) Die Abhängigkeit von Beobachtungen zu verschiedenen Zeitpunkten spielt eine wesentliche Rolle. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Beobachtungen ist wichtig. In der gewöhnlichen statistischen Analyse wird davon ausgegangen, daß die Beobachtungen voneinander unabhängig sind. (2) Die Domäne von t ist unendlich. (3) Wir müssen eine Schlussfolgerung aus einer Erkenntnis machen. Die Realisierung der Zufallsgröße kann nur einmal zu jedem Zeitpunkt beobachtet werden. In der multivariaten Analyse haben wir viele Beobachtungen über eine endliche Anzahl von Variablen. Dieser kritische Unterschied erfordert die Annahme der Stationarität. Definition Die Zufallsfunktion x t ist streng stationär, wenn alle endlichen Dimensionsverteilungsfunktionen x t gleich bleiben, auch wenn die ganze Gruppe von Punkten t 1. T 2. T n entlang der Zeitachse verschoben wird. Das heißt, wenn für irgendwelche ganzen Zahlen t & sub1; T 2. T n und k. Grafisch könnte man die Realisierung einer streng stationären Reihe als mit nicht nur dem gleichen Pegel in zwei verschiedenen Intervallen abbilden, sondern auch die gleiche Verteilungsfunktion bis hin zu den Parametern, die sie definieren. Die Annahme der Stationarität macht unser Leben einfacher und weniger kostspielig. Ohne Stationarität müssten wir den Prozeß häufig zu jedem Zeitpunkt abtasten, um eine Charakterisierung der Verteilungsfunktionen in der früheren Definition aufzubauen. Stationarität bedeutet, dass wir unsere Aufmerksamkeit auf einige der einfachsten numerischen Funktionen, d. H. Auf die Momente der Verteilungen, beschränken können. Die zentralen Momente sind gegeben durch Definition (i) Der Mittelwert der Zeitreihe t ist d. h. das Moment erster Ordnung. (Ii) Die Autokovarianzfunktion von t ist d. h. das zweite Moment um den Mittelwert. Wenn ts, dann haben Sie die Varianz von x t. Wir wollen die Autokovarianz einer stationären Reihe bezeichnen, wobei k die Differenz zwischen t und s bezeichnet. (Iii) Die Autokorrelationsfunktion (ACF) von t wird verwendet, um die Autokorrelation einer stationären Reihe zu bezeichnen, wobei k die Differenz zwischen t und s bezeichnet. (Iv) Die partielle Autokorrelation (PACF). F kk. Ist die Korrelation zwischen z t und z tk nach Entfernung ihrer gegenseitigen linearen Abhängigkeit von den dazwischenliegenden Variablen z t1. Z t2. Z tk-1. Ein einfacher Weg, die partielle Autokorrelation zwischen z t und z tk zu berechnen, besteht darin, die beiden Regressionen auszuführen und dann die Korrelation zwischen den beiden Restvektoren zu berechnen. Oder, nachdem die Variablen als Abweichung von ihren Mitteln gemessen wurden, kann die partielle Autokorrelation als der LS-Regressionskoeffizient auf zt in dem Modell gefunden werden, wo der Punkt über der Variable anzeigt, dass er als eine Abweichung von seinem Mittel gemessen wird. (V) Die Yule-Walker-Gleichungen liefern eine wichtige Beziehung zwischen den partiellen Autokorrelationen und den Autokorrelationen. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung 10 mit z tk-j und nehmen Sie Erwartungen. Dieser Vorgang ergibt die folgende Differenzengleichung in den Autokovarianzen bzw. in den Autokorrelationen. Diese scheinbar einfache Darstellung ist wirklich ein mächtiges Ergebnis. Für j1,2. K können wir das vollständige System von Gleichungen schreiben, bekannt als die Yule-Walker-Gleichungen. Aus der linearen Algebra wissen Sie, dass die Matrix von r s von vollem Rang ist. Daher ist es möglich, die Cramers-Regel sukzessive für k1,2 anzuwenden. Um das System für die partiellen Autokorrelationen zu lösen. Die ersten drei sind Wir haben drei wichtige Ergebnisse auf streng stationäre Serien. Die Implikation ist, dass wir jede endliche Realisierung der Sequenz verwenden können, um den Mittelwert zu schätzen. Zweite . Wenn t streng stationär ist und E t 2 lt dann die Implikation ist, dass die Autokovarianz nur von der Differenz zwischen t und s abhängt, nicht von ihrem chronologischen Zeitpunkt. Wir könnten jedes Paar von Intervallen bei der Berechnung der Autokovarianz verwenden, solange die Zeit zwischen ihnen konstant war. Und wir können jede endliche Realisierung der Daten verwenden, um die Autokovarianzen abzuschätzen. Drittens ist die Autokorrelationsfunktion im Falle einer strengen Stationarität gegeben durch Die Implikation ist, daß die Autokorrelation auch nur von der Differenz zwischen t und s abhängt und wiederum durch eine endliche Realisierung der Daten abgeschätzt werden kann. Wenn unser Ziel darin besteht, Parameter zu schätzen, die die möglichen Realisierungen der Zeitreihen beschreiben, dann ist vielleicht eine strenge Stationarität zu restriktiv. Wenn zum Beispiel der Mittelwert und die Kovarianz von xt konstant sind und unabhängig vom chronologischen Zeitpunkt sind, dann ist es vielleicht nicht wichtig, dass die Verteilungsfunktion für verschiedene Zeitintervalle gleich ist. Definition Eine zufällige Funktion ist im weiten Sinne stationär oder schwach stationär oder stationär im Khinchins-Sinne oder Kovarianz stationär, wenn m 1 (t) m und m 11 (t, s) stationär ist. Strenge Stationarität bedeutet für sich genommen keine schwache Stationarität. Eine schwache Stationarität bedeutet keine strenge Stationarität. Strenge Stationarität mit E t 2 lt bedeutet schwache Stationarität. Ergodische Theoreme beschäftigen sich mit der Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen, um aus einer einzigen Realisierung einer Zeitreihe Schlußfolgerungen zu ziehen. Grundsätzlich geht es darum, schwache Stationarität vorauszusetzen. Theorem Ist t schwach stationär mit mittlerer m und Kovarianzfunktion, so existiert für jedes gegebene e gt 0 und h gt 0 eine Anzahl T o, so dass für alle T gt T o. Wenn und nur wenn diese notwendige und hinreichende Bedingung ist, dass die Autokovarianzen aussterben, wobei in diesem Fall die Stichprobe ein konsistenter Schätzer für das Bevölkerungsmittel ist. Korollar Wenn t mit E tk xt 2 lt für jedes t schwach stationär ist und E tk xtx tsk x ts unabhängig von t für irgendeine ganze Zahl s ist, dann genau dann, wenn A eine Konsequenz der Korollarfolge die Annahme ist, dass xtx tk ist Schwach stationär. Das Ergodische Theorem ist nicht mehr als ein Gesetz von großer Zahl, wenn die Beobachtungen korreliert werden. Man könnte an dieser Stelle über die praktischen Implikationen der Stationarität fragen. Die häufigste Anwendung der Verwendung von Zeitreihen-Techniken ist die Modellierung makroökonomischer Daten, sowohl theoretische als auch atheoretische. Als Beispiel für das erstere könnte man ein Multiplikator-Beschleuniger-Modell haben. Damit das Modell stationär ist, müssen die Parameter bestimmte Werte haben. Ein Test des Modells soll dann die relevanten Daten sammeln und die Parameter abschätzen. Wenn die Schätzungen nicht mit der Stationarität übereinstimmen, muss man entweder das theoretische Modell oder das statistische Modell oder beide überdenken. Wir haben jetzt genügend Maschinen, um über die Modellierung von univariaten Zeitreihendaten zu sprechen. Es gibt vier Schritte in dem Prozess. 1. Modellmodelle aus theoretischen und Erfahrungswissen 2. Identifizierung der Modelle anhand der Daten (beobachtete Reihen) 3. Modellierung der Modelle (Schätzung der Modellparameter) 4. Modellprüfung Im vierten Schritt sind wir nicht Zufrieden sind wir wieder zu Schritt eins. Der Prozess ist iterativ, bis eine weitere Überprüfung und Anpassung keine weitere Ergebnisverbesserung ergibt. Schematische Darstellung Einige einfache Operationen umfassen die folgenden: Der Rückschaltoperator Bx tx t-1 Der Vorwärtsoperator Fx tx t1 Der Differenzoperator 1 - B xtxt - x t-1 Der Differenzoperator verhält sich in einer Weise, die mit der Konstanten in einer unendlichen Reihe übereinstimmt . Das heißt, sein Inverses ist die Grenze einer unendlichen Summe. Das heißt, -1 (1-B) -1 1 (1-B) 1BB 2. Der Integrationsoperator S -1 Da es der Inverse des Differenzoperators ist, dient der Integrationsoperator der Konstruktion der Summe. MODELLBAU In diesem Abschnitt bieten wir einen kurzen Überblick über die häufigsten Arten von Zeitreihenmodellen. Ausgehend von den Kenntnissen des Datenerzeugungsprozesses greift eine Klasse von Modellen zur Identifikation und Schätzung aus den folgenden Möglichkeiten auf. Definition Angenommen, Ex t m ist unabhängig von t. Ein Modell wie mit den Merkmalen wird das autoregressive Modell der Ordnung p, AR (p) genannt. Definition Wenn eine zeitabhängige Variable (stochastischer Prozeß) t genügt, dann heißt t die Eigenschaft von Markov. Auf der LHS ist die Erwartung auf die unendliche Geschichte von x t bedingt. Auf der RHS ist es nur auf einen Teil der Geschichte bedingt. Aus den Definitionen wird ein AR (p) - Modell gesehen, um die Markov-Eigenschaft zu erfüllen. Mit Hilfe des Backshift-Operators können wir unser AR-Modell als Theorem schreiben. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für den stationären Zustand des AR (p) - Modells ist, dass alle Wurzeln des Polynoms außerhalb des Einheitskreises liegen. Beispiel 1 Betrachten Sie die AR (1) Die einzige Wurzel von 1 - f 1 B 0 ist B 1 f 1. Voraussetzung für die Stationarität ist die. Wenn dann die beobachtete Reihe sehr frenetisch erscheinen wird. Z. B. Wobei der weiße Rauschterm eine Normalverteilung mit einem Nullmittelwert und einer Varianz von Eins aufweist. Die Beobachtungen wechseln Schild mit fast jeder Beobachtung. Wenn auf der anderen Seite, dann wird die beobachtete Reihe viel glatter sein. In dieser Reihe neigt eine Beobachtung dazu, über 0 zu sein, wenn ihr Vorgänger über Null war. Die Varianz von e t ist s e 2 für alle t. Die Varianz von xt. Wenn es null bedeutet, ist gegeben durch Da die Reihe stationär ist, können wir schreiben. Die Autokovarianzfunktion einer AR (1) - Serie ist also ohne Verlust der Allgemeingültigkeit m 0. Um zu sehen, wie dies in den AR-Parametern aussieht, machen wir von der Tatsache Gebrauch, dass wir xt wie folgt schreiben können: Multiplizieren mit x Tk und nehmen Erwartungen Beachten Sie, dass die Autokovarianzen sterben, wie k wächst. Die Autokorrelationsfunktion ist die Autokovarianz geteilt durch die Varianz des weißen Rauschterms. Oder, . Mit Hilfe der früheren Yule-Walker-Formeln für die partiellen Autokorrelationen haben wir für einen AR (1) die Autokorrelationen exponentiell abgestorben und die partiellen Autokorrelationen weisen eine Spike bei einer Verzögerung auf und sind danach null. Beispiel 2 Betrachten Sie das AR (2) Das zugehörige Polynom im Lag-Operator. Die Wurzeln konnten unter Verwendung der quadratischen Formel gefunden werden. Die Wurzeln sind Wenn die Wurzeln real sind und als Folge wird die Serie exponentiell in Reaktion auf einen Schock abnehmen. Wenn die Wurzeln komplex sind und die Reihe als gedämpfte Vorzeichenwelle erscheinen wird. Der Stationaritätssatz legt die folgenden Bedingungen für die AR-Koeffizienten fest Die Autokovarianz für einen AR (2) - Prozeß mit Nullmittelwert wird durch die Varianz von xt dividiert Durch die Varianz von xt ergibt sich die Autokorrelationsfunktion Da wir schreiben können Ähnlich für die zweite und dritte Autokorrelation Die andere Autokorrelationen werden rekursiv gelöst. Ihr Muster wird durch die Wurzeln der linearen Differenzgleichung zweiter Ordnung geregelt. Wenn die Wurzeln reell sind, werden die Autokorrelationen exponentiell abnehmen. Wenn die Wurzeln komplex sind, erscheinen die Autokorrelationen als gedämpfte Sinuswelle. Unter Verwendung der Yule-Walker-Gleichungen sind die partiellen Autokorrelationen wieder, die Autokorrelationen sterben langsam ab. Die partielle Autokorrelation hingegen ist sehr charakteristisch. Es hat Spikes an ein und zwei Lags und ist danach null. Theorem Ist x t ein stationärer AR (p) - Prozeß, so kann er äquivalent als lineares Filtermodell geschrieben werden. Das heißt, das Polynom im Rückschaltoperator kann invertiert werden und das AR (p) als ein gleitender Durchschnitt von unendlicher Ordnung stattdessen geschrieben werden. Beispiel Angenommen, z t ist ein AR (1) Prozess mit Null-Mittelwert. Was für die aktuelle Periode gilt, muss auch für vorherige Perioden gelten. Durch rekursive Substitution können wir quadratisch beide Seiten schreiben und Erwartungen nehmen, die rechte Seite verschwindet als k seit f lt 1. Daher konvergiert die Summe zu zt im quadratischen Mittel. Wir können das AR (p) - Modell als linearen Filter umschreiben, den wir als stationär kennen. Die Autokorrelationsfunktion und die partielle Autokorrelation allgemein Angenommen, dass eine stationäre Reihe z t mit mittlerem Nullpunkt als autoregressiv bekannt ist. Die Autokorrelationsfunktion eines AR (p) wird gefunden, indem die Erwartungen und die Durchdringung durch die Varianz von zt erfüllt werden. Dies besagt, daß rk eine Linearkombination der vorherigen Autokorrelationen ist. Wir können dies bei der Anwendung der Cramers-Regel auf (i) beim Lösen von fkk verwenden. Insbesondere können wir sehen, dass diese lineare Abhängigkeit f kk 0 für k gt p bewirkt. Diese Besonderheit der Autoregressive-Serie wird sehr nützlich sein, wenn es um die Identifizierung einer unbekannten Serie kommt. Wenn Sie entweder MathCAD oder MathCAD Explorer haben, dann können Sie experimentieren interactivley mit einigen der AR (p) Ideen präsentiert hier. Moving Average Models Betrachten Sie ein dynamisches Modell, in dem die Reihe von Interesse hängt nur von einem Teil der Geschichte des weißen Rausch Begriff. Schematisch kann dies als Definition dargestellt werden Definition Angenommen, t ist eine unkorrelierte Folge von i. i.d. Zufallsvariablen mit null Mittelwert und endlicher Varianz. Dann ist ein gleitender Durchschnittsprozess der Ordnung q, MA (q) gegeben durch Theorem: Ein gleitender Durchschnittsprozess ist immer stationär. Beweis: Anstatt mit einem allgemeinen Beweis zu beginnen, machen wir es für einen bestimmten Fall. Angenommen, z t ist MA (1). Dann. Natürlich hat ein t null mittlere und endliche Varianz. Der Mittelwert von zt ist stets Null. Die Autokovarianzen werden gegeben durch Sie können sehen, dass der Mittelwert der Zufallsvariablen nicht von der Zeit in irgendeiner Weise abhängt. Sie können auch sehen, dass die Autokovarianz hängt nur von den Offset s, nicht auf, wo in der Reihe, die wir beginnen. Wir können das gleiche Resultat allgemeiner mit dem beginnen, das die alternierende gleitende mittlere Darstellung hat. Man betrachte zunächst die Varianz von zt. Durch rekursive Substitution können Sie zeigen, dass dies gleich der Summe ist, die wir kennen, um eine konvergente Reihe zu sein, so dass die Varianz endlich ist und von der Zeit unabhängig ist. Die Kovarianzen sind z. B. Sie können auch sehen, dass die Auto-Kovarianzen nur von den relativen Zeitpunkten abhängen, nicht vom chronologischen Zeitpunkt. Unsere Schlussfolgerung ist, dass ein MA () - Prozess stationär ist. Für den allgemeinen MA (q) - Prozeß ist die Autokorrelationsfunktion gegeben durch Die partielle Autokorrelationsfunktion stirbt glatt ab. Sie können dies sehen, indem Sie den Prozess invertieren, um einen AR () - Prozess zu erhalten. Wenn Sie entweder MathCAD oder MathCAD Explorer haben, können Sie interaktiv mit einigen der hier vorgestellten MA (q) Ideen experimentieren. Mixed Autoregressive - Moving Average Models Definition Eine t ist eine unkorrelierte Folge von i. i.d. Zufallsvariablen mit null Mittelwert und endlicher Varianz. Dann ist ein autoregressiver, gleitender Durchschnittsprozess der Ordnung (p, q), ARMA (p, q) gegeben. Die Wurzeln des autoregressiven Operators müssen alle außerhalb des Einheitskreises liegen. Die Anzahl der Unbekannten ist pq2. Die p und q sind offensichtlich. Die 2 enthält die Ebene des Prozesses, m. Und die Varianz des weißen Rauschterms sa 2. Angenommen, wir kombinieren unsere AR - und MA-Darstellungen so, dass das Modell und die Koeffizienten so normiert sind, dass bo1. Dann wird diese Darstellung als ARMA (p, q) bezeichnet Wurzeln von (1) liegen alle außerhalb des Einheitskreises. Angenommen, die y t werden als Abweichungen vom Mittelwert gemessen, so dass wir ein o fallen lassen können. Dann wird die Autokovarianz-Funktion abgeleitet, wenn jgtq dann die MA-Begriffe ausfallen in Erwartung zu geben, das ist, die Autokovarianz-Funktion sieht aus wie ein typisches AR für Lags nach q sie sterben glatt nach q, aber wir können nicht sagen, wie 1,2,133, Q aussehen wird. Wir können auch die PACF für diese Klasse von Modell zu untersuchen. Das Modell kann geschrieben werden. Wir können dies als MA (inf) - Prozeß schreiben, der nahelegt, daß die PACFs langsam aussterben. Mit einiger Arithmetik konnten wir zeigen, dass dies nur nach den ersten p Spikes des AR-Teils geschieht. Empirisches Gesetz Tatsächlich kann eine stationäre Zeitreihe durch p 2 und q 2 repräsentiert werden. Wenn Ihr Unternehmen eine gute Annäherung an die Realität und die Güte der Anpassung liefern soll, ist Ihr Kriterium dann ein verschwenderisches Modell bevorzugt. Wenn Ihr Interesse prädiktive Effizienz ist, dann ist das sparsame Modell bevorzugt. Experimentieren Sie mit den ARMA Ideen, die oben mit einem MathCAD Arbeitsblatt. Autoregressive Integrate Moving Average Modelle MA Filter AR Filter Filter integrieren Manchmal ist der Prozess oder die Serie, die wir zu modellieren versuchen, nicht stationär in Ebenen. Aber es könnte stationär sein in, sagen wir, erste Unterschiede. Das heißt, in seiner ursprünglichen Form sind die Autokovarianzen für die Reihe nicht unabhängig vom chronologischen Zeitpunkt. Wenn wir jedoch eine neue Serie konstruieren, die die ersten Unterschiede der ursprünglichen Reihe ist, so erfüllt diese neue Reihe die Definition der Stationarität. Dies ist oft der Fall mit wirtschaftlichen Daten, die sehr trendorientiert ist. Definition Nehmen wir an, daß zt nicht stationär ist, aber zt - zt-1 die Definition der Stationarität erfüllt. Auch bei, das weiße Rauschen Begriff hat endlichen Mittelwert und Varianz. Wir können das Modell als Dies ist ein ARIMA (p, d, q) - Modell zu schreiben. P identifiziert die Reihenfolge des AR-Operators, d identifiziert das Einschalten. Q identifiziert die Reihenfolge des MA-Operators. Wenn die Wurzeln von f (B) außerhalb des Einheitskreises liegen, können wir ARIMA (p, d, q) als lineares Filter umschreiben. D. h. Kann er als MA () geschrieben werden. Wir behalten uns die Diskussion über die Erkennung von Einheitswurzeln für einen anderen Teil der Vorlesungsunterlagen vor. Man betrachte ein dynamisches System mit x t als Eingangsreihe und y t als Ausgangsreihe. Schematisch haben wir Diese Modelle sind eine diskrete Analogie der linearen Differentialgleichungen. Wir nehmen die folgende Beziehung an, wobei b eine reine Verzögerung anzeigt. Daran erinnern, dass (1-B). Wenn das Koeffizientenpolynom auf yt invertiert werden kann, dann kann das Modell geschrieben werden, da V (B) als Impulsantwortfunktion bekannt ist. Wir werden diese Terminologie wieder in unserer späteren Diskussion der Vektor autoregressive kommen. Kointegrations - und Fehlerkorrekturmodellen. MODEL-IDENTIFIKATION Nachdem man sich für eine Klasse von Modellen entschieden hat, muss man nun die Reihenfolge der Prozesse identifizieren, die die Daten erzeugen. Das heißt, man muss die Vermutungen hinsichtlich der Reihenfolge der AR - und MA-Prozesse, die die stationäre Serie treiben, gut abschätzen. Eine stationäre Serie ist vollständig durch ihre Mittelwerte und Autokovarianzen charakterisiert. Aus analytischen Gründen arbeiten wir meistens mit Autokorrelationen und partiellen Autokorrelationen. Diese beiden grundlegenden Werkzeuge haben einzigartige Muster für stationäre AR - und MA-Prozesse. Man könnte Beispielabschätzungen der Autokorrelation und partiellen Autokorrelationsfunktionen berechnen und sie mit den tabellierten Ergebnissen für Standardmodelle vergleichen. Beispiel Autokovarianz Funktion Stichprobe Autokorrelationsfunktion Die Beispielteilautokorrelationen werden die Autokorrelationen verwenden und partielle Autokorrelationen sind im Prinzip einfach. Angenommen, wir haben eine Folge zt. Mit Nullmittelwert, der AR (1) ist. Wenn wir die Regression von z t2 auf z t1 und z t ausführen würden, würden wir erwarten, daß der Koeffizient auf zt nicht von Null verschieden ist, da diese partielle Autokorrelation Null sein sollte. Andererseits sollten die Autokorrelationen für diese Reihe exponentiell abnehmen, um die Verzögerungen zu erhöhen (siehe das obige Beispiel AR (1)). Angenommen, die Serie ist wirklich ein gleitender Durchschnitt. Die Autokorrelation sollte überall Null sein, aber bei der ersten Verzögerung. Die partielle Autokorrelation sollte exponentiell absterben. Sogar von unserem sehr flüchtigen Rummel durch die Grundlagen der Zeitreihenanalyse wird deutlich, dass es eine Dualität zwischen AR - und MA-Prozessen gibt. Diese Dualität kann in der folgenden Tabelle zusammengefasst werden.
Comments
Post a Comment